保险准备金与保险公司利润的定量关系

王杉 宋逢明

                             （清华大学经济管理学院，北京 100084）
　　
　　［摘要］目前，大部分保险公司都将利润作为评价业绩的主要指标，而随着我国保险公司相继在海外上市，境外投资者也开始关注中国保险公司的利润。准备金提取过多或是过少都会对利润造成不利的影响，因此，准确把握保险准备金与保险公司利润的关系对公司的发展就显得非常重要。在实际操作中应该用一个相对简明的模型来描述二者之间的定量关系，为我国保险公司的经营管理提供参考。
　　［关键词］保险准备金；公司利润；最优准备金水平
　　［中图分类号］ F840.32 ［文献标识码］ A ［文章编号］1004-3306（2005）11-0061-03
　　Abstract： Today, for most insurance companies of China, profit is the main index of performance evaluation valuation. As Chinese insurance companies go public   internationally in succession, more and more foreign investors will also be  interested in the profit of these companies. The level of premium reserve can  influence profit, and too high or too low reserve is harmful to the insurance company.  Hence to grasp the relationship between premium reserve and profit is of great importance  for the development of the Chinese insurance industry. This article constructs a  relatively simple model to describe the relationship quantitatively to provide  referrence for the management of Chinese insurnce companies. 
　　Key words：premium reserve; profit; optimal reserve level
　　
　　保险准备金的提取直接关系到保险的损益情况，也直接关系到保险公司的赔付能力是否充足。准备金提取过少会造成赔付能力不足，增加公司的破产风险，而一旦公司破产将不再产生利润；反之，如果提取过多则会造成不必要的利润损失。目前，大部分保险公司已经将利润作为评价业绩的主要指标，而随着我国保险公司相继在海外上市，境外投资者也开始关注中国保险公司的利润。
　　一、国外学者对保险准备金与保险公司利润关系的研究分析
　　De Finetti［1］用一个数学模型将问题描述如下：
　　1．有一家保险公司，其初始资本为S。
　　2．在每一个经营周期内(比如一年内)，该公司所应赔付的总金额为x，它是随机变量，分布函数是F(x)。进一步假设，这个总金额x0。
　　3．在每个经营周期内，该公司的保费总收入为P。
　　4．在每个经营周期结束时，该公司的保费收入P与所应赔付的总金额x之间的差额就是公司的总利润。公司需要从总利润中提取准备金增加总资本。当然如果在某个经营周期内公司亏损，总资本就会不增反降。
　　5．如果在某个经营周期结束时，该公司的总资本超过某一上限Z，超出的部分将全部作为红利发放给该公司的所有者。然而，如果该公司的总资本小于0，也就是资不抵债，该公司就将破产并从行业中消失，而其所有者此后也就不再获得任何利润。
　　这个模型虽然与保险公司的实际经营情况不尽相同，但它指出了问题的关键——如果公司经营过于保守，准备金提取过多，也就是说将总资本的上限定得过高，那么公司的所有者分到的公司利润就越少，或者延迟收入；反之，如果公司经营过于激进，准备金提取过少，那么就会增加破产的风险，而一旦破产就不再获得任何利润。因此，如何提取准备金关系到所有者的收益情况，那种能使所有者各期收益总和最大化的准备金提取方案就是最优的提取方案。
　　此后，很多学者对这一问题进行了更为深入的研究和推广。其中Gerber认为，De Finetti所说的那个资本上限可以是随时间变化的，并假设在时间为t时资本上限是b+at，也就是说资本上限是时间的线性函数［2］。Siegl和Tichy对赔付的总金额进行了更为复杂的描述［3］。Albrecher，Kainhofer和Tichy则认为资本上限也可以是时间的非线性函数，并且
采用模拟的方法对问题进行了分析［4］。这些模型具有重要的理论价值和意义，但其解法都非常复杂，需要运用艰深的数学方法，因而不容易被理解和应用。例如，Siegl和Tichy的研究给出了所有者总收益与准备金提取方案的定量关系，但由此并不能直接找到最优的提取方案。
　　Asmussen和Taksar从另一角度出发研究了这一问题［5］。在他们的研究中，用r(t)表示某家保险公司在时间为t时的准备金余额，并假设r(t)的变化可以用如下随机微分方程来表示：
　　dr(t)=(μ-a(t))dt+σ•dw(t)
　　其中w(t)是随机过程中最常见的标准布朗运动，意味着赔付金额服从正态分布。在这一方程中，μ是单位时间内保费收入与平均赔付金额的差额，σ是赔付金额的波动率，而a(t)就是在时间为t时可用于分配的利润。这一方程形式所描述的情况与前面的研究是类似的，指出单位时间里准备金的变化是保费收入扣除赔付支出及可分配利润后的剩余，不同之处在于这里并没有事先确定准备金余额存在上限。此外，Asmussen和Taksar也认为当r(t)降低到0时，公司就会破产，在此之前各时期内可用于分配的利润总和就是所有者的总收益。建立这一分析框架的最终目的就是找到最优的准备金提取方案(也就是确定在任一时间t时a(t)的大小)，使得所有者的总收益最大。最终，Asmussen和Taksar发现，在他们的模型里也存在一个准备金上限，当准备金超过这一上限时就不再追加，这样所有者的总收益就会最大化。用m表示这一上限:
　　m=σ2μ2+2σ2c logμ2+2σ2c+μμ2+2σ2c-μ
　　c表示公司所有者要求的回报率，类似存款于银行所获得的利率。公式说明，所有者要求的回报率越高，准备金上限就应该越低，意味着公司的经营应该越激进。如果μ、σ和c是已知的或者可以估算出来，那么就可以按照上面的公式确定准备金上限，实际上也就确定了最优的准备金提取方案。
　　以上研究分析有一个共同点：假定准备金余额是一个经常变化的随机变量。这使得问题变得非常复杂，而且这种假设与实际情况还存在一定差距。准备金余额忽大忽小会给保险公司的投资者、客户和监管者造成不好的印象，他们会认为公司的经营状况很不稳定，经营风险较大。当某一时期公司准备金的余额较低时，公司的客户和潜在客户就会对公司未来的赔付能力产生怀疑，因而减少甚至终止对该公司产品的购买，这会使公司经营进一步陷入困境。为了避免这一情况的发生，维护保险公司稳健的经营形象，公司应该尽力维持比较稳定的准备金余额，而不是任凭其自由波动。
　　二、准备金余额保持稳定的保险公司模型
　　(一)对保险公司经营过程的描述
　　在分析问题之前，首先描述一下保险公司经营过程：
　　1．该公司在经营之初设定一个稳定的准备金余额水平，用R表示。
　　2．在每个经营周期开始时，公司会获取一定的保费总收入，用P来表示。
　　3．在每个经营周期内，该公司所应赔付的总金额用x表示。x是随机变量，其分布函数是F(x)，各期的赔付金额之间相互独立。进一步假设，x服从泊松分布，平均值是λ。
　　4．在每个经营周期结束时，公司的保费收入与赔付支出的差额就是当期的利润，如果保费收入低于赔付支出就按亏损计算，同时使准备金稳定地保持在R的水平。
　　5．如果在第t个经营周期里，所应赔付的金额xtR+P，则公司可以继续经营下去；如果xt＞R+P，也就是说所应赔付的金额超过准备金与保费之和，那么公司就面临破产，公司的所有者此后也就不再从公司获得收益。
　　这个模型最大的特点是公司准备金余额在每个经营周期开始和结束时都是相同的，这样公司在每个经营周期里的赔付能力是稳定的，公司所面临的风险也是比较稳定的，在每个经营周期里公司能够继续经营下去的概率就是相同的，这个概率用π来表示。这样的特点使得问题分析起来就比前面的研究更为简便，且更贴近实际。
　　(二)所有者能够获得的预期总收益
　　货币是具有时间价值的，也就是说今天得到的一块钱比明天得到的一块钱价值更高，因为先得到的钱可以更早用于投资获得更高的收益。先后获得的单位金额货币的价值之比就是投资者要求的回报率。既然后获得的货币价值低于先获得的货币，在计算所有者总收益时就需要对不同时期获得的收入按统一标准进行折算，这里的做法是向前折算，即把所有未来各期收入都折算成初期的收入，这也是计算所有者收益或者股东价值的通常做法，这样便于所有者或者股东对公司的经营业绩进行评价。这里假设对于所有者来说，明年获得的一单位收入相当于今年获得v单位的收入，v叫做折现因子，那么明年获得的1v单位收入才相当于今年获得一单位收入，这意味着所有者要求的回报率是1v-1。
　　确定了公司的所有者要求回报率或者折现因子后，还需要确定公司在每一个经营周期内的可分配利润，并折算成初始时刻的利润。既然公司每期可供分配的利润是保费收入与赔付支出的差额，那么第i期的利润即为(P-xi)，将其折算成初始时刻的利润即为(P-xi)vi。由于xi是个随机变量，因而所有者的总收益并不是个确定的常数，一般总希望其平均值尽量大，这个平均值也叫做预期收益。此外，由于公司总会面临一定的破产风险。如果公司在第n期破产，也就是说，对于所有的i＜n,xiR+P，并且，xn＞R+P,那么公司所有者可以获得的预期收益是：
　　∑n-1i=1［P-∑R+Pj=1Pr(xi=j)j］vi
　　其中Pr(xi=j)表示xi=j的概率。上式简化后为
　　∑n-1i=1viP-π*λπ
　　其中π*=Pr(xiR+P-1)
　　因为公司破产的时间也是不确定的，也就是说需要考虑在任何一期发生破产时可供分配的利润，将它们按发生的概率进行加权平均，如下所示：
　　（1-π）∑∞n=2πn-1∑n-1i=1viP-π*λπ=v1-πv(πP-π*λ)
　　由于保证金本身也是从所有者收益中扣除的，因此所有者最终能够得到的预期总收益是
　　W（R）=v1-πv(πP-π*λ)-R
　　其中W（R）即表示所有者的预期总收益。
　　(三)最优的准备金水平
　　上面的公式描述了准备金水平与所有者预期总收益之间的定量关系，保险公司可以根据准备金水平估算出所有者的预期总收益，或者根据所有者要求的总收益确定相应的保证金水平。进一步分析可以看出，当准备金水平R很小时，公司的赔付能力很差，导致其能够继续经营下去的概率π较小，于是W(R)就会较小，也就是说这时所有者的预期总收益较小。此时提高准备金水平会增加所有者的收益。反之，当准备金水平R过高时，W(R)可以近似看成
　　v1-v(P-λ)-R
　　反而会随着R的上升而减少。因此，可以找到一个最优的准备金水平，对应着最大的所有者预期总收益。例：假定一家公司每年保费收入是60，平均赔付支出是50，该公司所有者要求的回报率是每年5％，相应的折现因子约为95．2％。那么该公司所有者预期总收益与准备金水平之间的关系如图1所示：
　　准备金水平
　　图1所有者预期总收益与准备金水平的关系
　　图1直观地说明，当准备金水平很低时，所有者预期总收益较小，并随着准备金水平的提高而上升；而当准备金水平过高时，所有者的收益则会下降。在这个例子中，最优的准备金水平为14，对应的最大的所有者预期总收益是183．9。这样一种准备金水平与所有者收益的关系与实际情况是一致的，并且定量地给出了准备金的高低对利润大小的综合影响(这个模型对赔付金额的概率分布做了特定的假设，可能与实际情况有所差异。在以下部分将对模型进行扩展，使其可以适用不同的概率分布)。
　　三、模型的扩展
　　在上一部分里，为了使得模型的表述更为简明，假设赔付金额的概率分布是泊松分布，实际上这一假设是可以放宽的。如果，赔付金额服从任意概率分布，上述模型的扩展形式如下：
　　W（R）=πv1-πv(P-E［x｜xR+P］)-R
　　其中E［x｜xR+P］表示在赔付金额x不超过准备金与保费之和时的平均值，也就是当xR+P时x的条件期望。这一扩展形式与上述模型是完全类似的，如果赔付金额的概率分布可以确定，那么利用基本的概率原理就可以计算出π的大小以及E［x｜xR+P］，这样就可以描述出所有者收益与准备金水平的关系，并最终找到最优准备金水平。
　　举例说明扩展模型的应用：仍然假定一家公司每年保费收入是60，平均赔付支出是50，该公司所有者要求的回报率是每年5％，相应的折现因子约为95．2％。不同之处在于，赔付金额的概率分布不是泊松分布，而是正态分布，并且标准差是10。这样，该公司所有者预期总收益与准备金水平之间的关系与上一个例子就有所差异，见图2。
　　准备金水平
　　图2所有者预期总收益与准备金水平的关系
　　（赔付金额服从正态分布）
　　在这个例子中，最优的准备金水平为21.4，对应的最大的所有者预期总收益是175.7。图2与图1虽有所不同，但同样直观地说明了当准备金水平很低时，所有者预期总收益较小，并随着准备金水平的提高而上升；而当准备金水平过高时，所有者的收益则会下降。
　　［参考文献］
　　［1］Borch,K.The Theory of Risk［J］.Journal of the Royal Statistical Society.Series B(Methodological),1967,Vol.29,No.3:432-467.
　　［2］Gerber,H.U.On the Probability of Ruin in the Presence of a Linear Dividend Barrier ［J］.Scandinavian Actuarial Journal,1981:105-115.
　　［3］Siegl,T.,and Tichy,R.F.A Process with Stochastic Claim Frequency and a Linear Dividend Barrier［J］.Insurance:Mathematics and Economics,1999,24:51-65.
　　［4］Albrecher,H.,Kainhofer,R.,and Tichy,R.F.Simulation Methods in Ruin Models with Nonlinear Dividend Barriers［J］.Insurance:Mathematics and Economics,2003,62:277-287.
　　［5］Asmussen,S.,and Taksar,M.Controlled Diffusion Models for Optimal Dividend Payout［J］.Insurance:Mathematics and Economics,1997,20:1-15.［编辑：刘晓燕］保险研究2005年第11期资金运用
　　［收稿日期］2005—08—04
　　［作者简介］王杉（1977—），男，博士研究生，现就读于清华大学经济管理学院数量经济学专业；宋逢明（1946—），男，教授，博士生导师，现任清华大学经济管理学院国际贸易与金融系主任。