净保费责任准备金的计算

赵霞

                    （山东经济学院概率统计与保险精算研究所，山东 济南 250014）
　　
　　［摘要］在对契约生效后若干年内的净保费责任准备金进行流量分析时，利用递推计算公式可以使计算大大简化。一般文献中给出较多的是寿险保单下净保费责任准备金的递推计算公式，关于年金保险及既包含生存又包含死亡给付条件的险种的相应讨论较少，而后者在实务中又是很重要的，因此用将来法及收支平衡的原则给出净保费责任准备金计算的有关递推公式，并给予实例分析有实际意义。责任准备金的计算，必须首先注意保险的类型，不同类型的保险依不同的索赔条件有不同的递推公式，从而有不同的计算结果，否则会使公司的决策和管理面临巨大的风险。
　　［关键词］责任准备金；终身人寿；生存年金；将来法；收支平衡
　　［中图分类号］ F840.4 ［文献标识码］ A ［文章编号］1004-3306（2005）06-0076-03
　　
　　一、问题的提出
　　责任准备金是保险人以保险契约为依据，为将来可能发生的给付而提存积累的基金。它是保险人对被保险人或其受益人的一种资产负债，并不是保险人的收入，是保险人对均衡净保费或趸缴净保费依据保险事故发生的风险大小进行的合理分配。责任准备金的计算对保险人而言，具有非常重要的意义。尽可能精确合理的进行责任准备金的估算和留存，能够帮助保险公司有效地规避风险，从而保障投保人的利益。
　　责任准备金的计算以净保费为基础，以收支平衡为原则。在计算过程中，一般根据实际情况采取前瞻法（将来法）或后顾法（过去法）。当然，对于期末责任准备金，可以推导出其递推公式，从而简化计算过程。一般的文献在讲解此部分时，往往以终身人寿保险为例推导其责任准备金的递推公式（这些公式对其他的以死亡为给付条件的寿险险种及完全生存保险和两全保险也是成立的），而对年金保险及既有生存又有死亡给付条件的各种险种的净保费期末责任准备金的计算及递推公式的推导则鲜有提及。实际上，在保险实务中，后者占有非常重要的地位。并且，在寿险中赔付以死亡为条件，而在年金保险中赔付是以生存为条件的，所以他们的表达式应该有所不同；进一步，若某一保单契约规定无论生存还是死亡，都将得到一定的保险金，则未来可能赔付的全部保险金中要充分考虑被保险人在未来任何一个年度的生存与死亡情况。我们将首先用较一般文献中更为简洁明了的思路方法给出既包含生存又包含死亡给付条件的险种的责任准备金的有关递推计算公式，同时，生存年金保险及寿险的相应计算公式也被得到；然后利用实例分析公式的应用以及它们之间的差别。
　　二、净保费责任准备金的递推计算
　　（一）既包含生存又包含死亡给付条件的险种
　　假设保险契约规定：在任何一个保险年度，若投保人死亡则于年末给付保险金bt+1，若投保人生存则于年末给付保险金ct+1，保费以契约成立时每年首交付，tV #表示t年末的净保费责任准备金，Pt#表示在t+1年的净保费，t=0，1，2，……
　　1.投保年度末责任准备金递推计算公式
　　按照将来法的思想，t（或t+1）时刻的责任准备金分别为其未来可能赔付的全部保险金的现值与未来全部净保费的现值之差，从而t+1时刻的责任准备金在t时刻的现值与t时刻的责任准备金之差，即为投保第t年至第t+1年之间交付的全部净保费与赔付的全部保险金在t时刻的价值之差。用数学语言表达即为：
　　t+1V #•v•px+t-tV #=Pt#-ct+1•v•px+t-bt+1•v•qx+t
　　整理可得：
　　tV #+Pt#=（t+1V #+ct+1)•v•px+t+bt+1•v•qx+t(1)
　　其直观解释为：t年末的责任准备金tV #加上t+1年初的净保费收入Pt#，正好等于t+1年的保险赔付（死亡或生存赔付）在t年末的现值ct+1•v•px+t+bt+1•v•qx+t加上t+1年末责任准备金在利率和生者利作用下t年末的现值t+1V #•v•px+t。
　　t年所交保费可分解为：
　　P#t=Pt#s+Pt#r(2)
　　其中，Pt#s=t+1V # •v-tV#表示增加的净保费责任准备金，称为储蓄保费；
　　Pt#r=（bt+1-t+1V #)•v•qx+t+ct+1•v•px+t表示在死亡和生存情形下保险金分为bt+1-t+1V #和ct+1的一年期两全保险的保险费，称为风险保费。于是，若投保人t年还存活，则t+1年的保费运作可看作是一个储蓄和一个一年期保险的组合。
　　2.会计年度末责任准备金递推计算公式
　　我们考虑t+u至t+1这一小段区间内的保险费缴付和保险金支付的的情况，依据上面同样的推导思路，可得：
　　t+uV #=(t+1V #+ct+1)•v1-u•1-upx+t+u+bt+1•v1-u•1-uqx+t+u(0＜u＜1)(3)
　　死亡均匀分布假设下，可化简为：
　　t+uV #=v1-u1-uqx+t［bt+1(1-u)qx+t+ct+1px+t+t+1V #•px+t］(0＜u＜1)
　　=1-u1-uqx+t(tV #+P#t)(1+i)u+v1-u•u•px+t1-uqx+t(t+1V #+ct+1)(4)
　　其近似公式为：
　　t+uV #≈(1-u)tV #+u•t+1V #+(1-u)P#t+u•ct+1(5)
　　在上面的过程中分别令bt+1或ct+1为零，即可得到寿险及生存年金保险下的相应结果。
　　（二）终身人寿保险
　　投保年度期末责任准备金递推公式为：
　　tV+Pt=bt+1•v•qx+t+t+1V•v•px+t;(6)
　　保费分解公式为：
　　Pt=Pst+Prt
　　其中储蓄保费Pst=t+1V•v-tV,风险保费Prt=(bt+1-t+1V)•v•qx+t。
　　会计年度期末责任准备金计算公式为（假设死亡均匀分布）
　　t+uV=1-u1-uqx+t(tV+Pt)(1+i)u+u•Px+t1-uqx+t  t+1V•v1-u(0＜u＜1)(7)
　　其近似公式为：
　　t+uV≈(1-u)tV+u•t+1V+(1-u)Pt(8)
　　(三）生存年金保险
　　投保年度期末责任准备金递推公式为：
　　tV*+P*t=(t+1V*+ct+1)•Px+t(9)
　　保费分解公式为：
　　P*t=P*st+P*rt
　　其中储蓄保费P*st=(t+1V*•v-tV*)，风险保费P*rt=v(ct+1•px+t-t+1V*•qx+t)。
　　会计年度期末责任准备金计算公式为（假设死亡均匀分布）。
　　t+uV*=v1-upx+t1-uqx+t(t+1V*+ct+1)(10)
　　当qx+t=1,i=1时，有近似公式t+uV*≈tV*+P*t(11)
　　小结：
　　1.若令P*t=P为年缴均衡净保费，即得到均衡保费制度下的有关计算公式；若令P*t=P,P*t=0(i2),即得到趸缴情形下的相应公式。
　　2.（二）中结论适合于以死亡为给付条件的任何险种及完全生存保险和两全保险，（三）中结论适合于以生存为给付条件的任何险种（当然包含完全生存保险），（一）是（二）与（三）的推广，适合于包含生存且（或）以死亡给付条件的任何险种。在上面的讨论中，索赔条件、索赔时间还可以据实际情况进一步复杂化，但推导思想及思路还是一样的。
　　3.对于完全生存保险，因为在保险期内无论生存还是死亡均没有赔付（仅在保险期末生存给付），这相当于（二）中令bt+1为零或在（三）中令ct+1为零，所以两种情形均适用。
　　4.比较（6）式与（9）式，我们发现当令赔付额为零也即不赔付时，二公式是一致的，所以还没进入赔付期时，二式均适用。
　　三、实例分析
　　某人于1985年4月1日20岁时投保延期8年20年定期生存年金保险，保险金额为5 000元，年末支付，保费限投保后8年内均衡缴清，年首支付，求：保险人在契约生效后11年内每年的投保年度末净保费责任准备金；保单在1990年底的净保费责任准备金。（i=0.06)死亡概率及转换函数值参见生存年金生命表。
　　解：这一保单的年缴均衡净保费为：
　　P=50008｜20a20&&20∶8=5000 N29-N49N20-N28
　　=5000 29530376-755141551823306-31465153=5398.
　　由公式（9）知t+1V*=(tV*+P*t)1.061-q20+t-ct+1,
　　又0V=0，且Pt=5398t=0,1,L,7
　　0t8,
　　于是得到保险人在契约生效后11年内每年的投保年度末净保费责任准备金，（见表1）。保单在1990年底的净保费责任准备金为（由公式（10））：
　　5+912V*=1.06-0.25p251-912q25 (6V*+c6)=39 409,
　　其近似值为：5+912V*≈5V*+P*5=37 707。
　　说明：若利用情形（二）中公式（6）计算则有：
　　t+1V=1.06(tV+Pt)-bt+1•q20+t1-q20+t,
　　此处，对应的有Pt=P*t,bt+1=ct+1。
　　保险人在契约生效后11年内每年的投保年度末净保费责任准备金的计算结果见表1。
　　比较表1中第5行及第6行可以发现，前8年二者相同，这是因为在延期生存年金中，赔付期还没有来临，即相当于死亡保险情况下的“没有死亡”，所以不会引起索赔。而在后续的年份中情况则大不相同了，投保第9、10、11年的差额分别为：4 996、10 296、15 919，这是因为此时，在延期生存年金中赔付以生存为条件，死亡保险中赔付以死亡为条件，而且生存概率远远大于死亡概率，所以不能用公式（6）来计算本例题。
　　通过上面的分析可以看到，在计算责任准备金的时候，必须首先注意到保险的类型，不同类型的保险有不同的赔付条件，从而有不同的计算公式。混淆它们之间的区别，不仅会产生计算上的错误，而且会使保险公司的财务及风险管理面临更大的危害。
　　［参考文献］
　　［1］范克新.保险精算学教程［M］.南京大学出版社.
　　［2］王晓军，江星，刘文卿.保险精算学［M］.中国人民大学出版社.
　　［3］N.L.Bowers著.余跃年，郑韫瑜译.精算数学［M］.上海科学技术出版社.
　　［编辑：刘晓燕］两全保险的现金流分析（契约生效后11年内）
　　表1（单位：元）
　　投保年度（t+1)1234567891011年初所收保费（P*t)5 3985 3985 3985 3985 3985 3985 3985 398000年末生存保险金（ct+1)000000005 0005 0005 000年内的死亡概率
　　（q20+t）0.0005030.0005220.0005440.0005660.0005910.0006190.0006500.0006840.0007220.0007630.000809年末净准备金
　　（用（（9）式）（t+1V*)5 724.81 17961 82352 50653 23093 99944 81465 67965 52475 36065 1868年末净准备金
　　（用（6）式）（t+1V*△)5 724.81 17961 82352 50653 23093 99944 81465 67966 02436 39026 7787（上接第90页）国民对保险的认识迫在眉睫。
　　3.加快机制和体制创新，强化企业内控管理
　　转换经营机制，建立健全内控机制、激励约束机制和风险管理机制；创新保险公司与专业保险代理机构和兼业保险代理机构合作方式；健全公司内控机制，建立专门的风险管理部门，运用系统的概念和方法，把各阶段、各环节的风险控制活动组织起来，形成分工明确、相互协调的整体，减少和控制风险；实行严格的核保、核赔和财务会计制度，建立风险分摊机制；培养一批高素质的风险管理队伍，切实加强精算的基础性工作，强化精算工作职能，建立早期预警制度和精算报告制度，开展责任准备金、现金流分析预测和偿付能力管理。
　　4.加强产品创新，拓广保险领域，提高服务质量
　　注重挖掘市场需求，坚持消费者导向，创新产品结构，满足社会的保障需求。产品研发既要注重产品本身更要重视“产品最终是卖出去的”理念，注重产品流程和细节的适宜性、可操作性方面，调动销售人员的积极性。努力开拓农村保险市场，既是社会经济发展的需要，也是保险公司自身发展的需要。抓住国家实施中部崛起战略，提高承保大型风险项目的水平，为基础设施建设和重点工程项目提供保险保障；加强与安检、公安部门的合作，争取政府、有关部门的支持，大力发展公众责任险、矿产责任险。同时，保险公司要不断改进服务质量，培育公司品牌，规范和提升整个行业的服务水平，切实提高社会对保险业服务的满意度。
　　5.改进营销模式，探索新的保险营销体系
　　转变营销观念，走专业化、集约化经营道路。积极探索新的保险营销体系，逐步由全功能型向知识密集型和技术密集型转变，业务侧重于产品设计、风险管理、客户服务以及资金运用等方面，  以适应专业化经营和社会化分工的经济发展趋势；将展业、定损的职能逐步从其经营中剥离“外包”出去；充分利用保险经纪人、网络保险、电话承保、银行保险等多种方式拓展业务，减轻展业成本，扩大展业规模和市场形势深度。
　　6.加强企业文化建设，建设和谐企业
　　一个优秀的企业不仅拥有雄厚的物质资源和健全的规章制度，更要拥有和谐团结、奋发向上的员工队伍。要贯彻“以人为本”的经营理念，  以人性化的管理，凝聚人心，激发全体员工的勇气、信心，建设和谐、进取的企业文化，建设和谐企业。
　　［编辑：郝焕婷］保险研究2005年第6期争鸣
　　［收稿日期］2005—01—22
　　［作者简介］赵霞（1972—），女，山东经济学院概率统计与保险精算研究所副教授，硕导，理学博士，中国人民大学统计学院在站博士后。研究方向：数学统计模型在保险精算中应用。