浅谈随机利率下的比例赔付保险模型

    摘要：本文在传统精算学的基础上，对随机利率下的财产险中的比例赔付额(赔付额与时间相关)进行了分析。计算了随机利率下的比例赔付保险的纯保费和责任准备金，以及相关公司的风险。本模型的特点是将随机利率引入比例赔付保险，这样计算的纯保费等各项数据更加贴近实际；其次本模型中的赔付额与时间相关，这样险种更加灵活，具有吸引力。本文对于保险公司的财产险实务具有参考价值。 
    关键词：随机利率；比例赔付；保险模型；保险管理 
　 
　　引言 
　　 
　　在保险实务中，利率并不是固定不变的，而是具有一定的随机性。尤其在长期的经济行为中，采用固定利率可能会带来预期与实际之间的较大偏差，随机利率(random interest rate)在保险精算研究中已经成为热点问题。随着对精算理论研究的深入，利率随机性的研究在近年来越来越受到重视。 
　　1976年，Boyle考虑了寿险与年金中死亡率与利率均为随机的情况一“双随机性Ⅲ”。相应的随机利率的一般理论由Panjer与Bellhouse在二十世纪八十年代建立。Beekman与FueIIing在1991年得到了利率由O-U过程和wiener过程建模的某些年金的二阶矩；1993年又得到了利率由O-U过程和wiener过程建模的终身寿险给付现值的前二阶矩。 
　　本文在现有研究的基础上，将随机利率引入了保险模型中，讨论了在死亡率为DeMoivre分布(参见文献[2])下的比例赔付问题，对财产险实务具有参考价值。 
　　顺便指出；当死亡率服从Makeham分布时的情况，随机积分通常不可积，在这种情况下，则只能用数值积分来做。 
　　 
　　1、基本原理 
　　 
　　1.1精算现值与精算等价原理 
　　保险实务中，纯保费与理赔额的发生通常不会在同一个时间点上，应该将两者放在同一个时间点上进行比较。一般将纯保费与理赔额折现到保单(policy)生效这个点上。这样，对纯保费和理赔额的比较就不能单纯的看其数额的大小，还要看资金的时间价值，保险标的物的死亡时间。为了解决这个问题，于是我们引入精算现值。精算现值与通常的资金现值的不同之处在于前者考虑了标的物死亡概率。收入(纯保费)与支出(理赔额)在保单生效时的精算现值相等就是所谓的“精算等价原理”，纯保费就是运用精算等价原理来计算的。 
　　1.2布朗运动与随机利率模型 
　　传统的精算理论都是假定利率是固定的。这往往与事实不符，因为利率是具有随机性的。在保险实践中，由于利率的随机变动产生的风险，对保险公司而言是相当大的。 
　　根据概率论中的大数定律，由于标的物“死亡”的随机性产生的风险可以通过出售大量的保单来分散，但由于利率的随机性产生的风险则不能通过这种方式来分散，且利率风险只存在于保险公司一方。严重时，甚至可能导致保险公司破产。 
　　 
　　2、随机利率下的比例赔付保险模型 
　　 
　　2.1模型描述 
　　本文所述的保险和约主要应用于财产保险。模型如下：投保人对一种标的物进行投保，若标的物在一个指定的时间内“死亡”，保险公司会在死亡时刻提供一个与标的物价值成比例的赔付。而投保人在这个指定时期内以连续年金的方式支付其保费。 
　　2.2纯保费的计算 
　　在上述的精算模型中，设标的物(轿车)在t时刻(0≤t≤5)报废，在t时刻的赔付额的现值为Z1，投保人所缴纳的保费的现值为POZ2。 
　　2.3纯保费责任准备金 
　　由于死亡率随着标的物“年龄”的增长而增大，如果各年支付各年的死亡给付成本，则死亡给付成本将逐年增加，使保险公司到保险末期难以承受高额赔付。 
　　因此在时务中通常采用均衡纯保费将给付成本在整个缴费期上平摊。在均衡纯保费方式下，保险前期各年度的纯保费支付死亡成本有余，而到了保险末期则不足以支付。
前期的保费的剩余不是保险公司的利润，而是其对投保人的一种负债，将会在保险末期给付。 
　　 
　　3、实例计算与分析 
　　 
　　考虑标的物价值P＝10(单位：万元)，则P0＝2，假设α＝0.05，β=0.4，则a0＝0.03，a1＝0.22，a2＝0.19，b0＝e，b1＝0.22，代入公式(8)(14)，通过计算机编程计算可得计算结果。 
　　从计算结果中，我们可以看到责任准备金是随着时间的增加而不断增大的，这是因为随着时间的推移保险公司赔付的概率不断增大，则需要的准备金就越多。同样，随着赔偿越来越确定，公司的损失风险就会不断减小。 
　　 
　　4、结论 
　　 
　　(1)本文在传统精算学的基础上，对随机利率下的财产险中的比例赔付额(赔付额与时间相关)进行了分析，计算了随机利率下的比例赔付保险的纯保费和责任准备金，以及相关公司的风险。 
　　(2)根据精算等价原理，将随机利率引入比例赔付保险，建立的随机利率下的比例赔付保险模型。传统的精算理论都是假定利率是固定的，这往往与事实不符。在保险实践中，由于利率的随机变动产生的风险，对保险公司而言是相当大的。应用本模型进行保险决策，则使计算的纯保费等各项数据更加贴近实际。 
　　(3)模型建立了“责任准备金”的概念和计算公式，使保险公司将前期的剩余提纯以备末期使用。解决了由于死亡率随着标的物“年龄”的增长而增大，死亡给付成本将逐年增加，使保险公司到保险末期难以承受高额赔付的问题。 
　　(4)责任准备金随着时间的增加而不断增大的，这是因为随着时间的推移保险公司赔付的概率不断增大，则需要的准备金就越多。同样，随着赔偿越来越确定，公司的损失风险就会不断减小。 
　　(5)本模型中的赔付额与时间相关，这样险种更加灵活，具有吸引力。本文对于保险公司的财产险实务具有参考价值。